Question

2．将函数$f（x）=\sqrt{3}sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}$的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（　　）

• A． $（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{4}）$
• B． $（-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$
• C． $（\frac{π}{2}，π）$
• D． $（\frac{3π}{2}，2π）$

Answer 1

分析 由两角差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x）=-2cos$\frac{x}{2}$，利用余弦函数的单调性可求其单调递减区间，比较各个选项即可得解．

解答 解：∵将函数$f（x）=\sqrt{3}sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}$=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=2sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=-2cos$\frac{x}{2}$，
∴由2kπ+π≤$\frac{x}{2}$≤2kπ+2π，解得：4kπ+2π≤x≤4kπ+4π，k∈Z，可得函数y=g（x）的单调减区间是：[4kπ+2π，4kπ+4π]，k∈Z，
∴当k=-1时，函数y=g（x）的一个单调减区间是：[-2π，0]，
∴由（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）?[-2π，0]，可得（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）是函数y=g（x）的一个单调减区间．
故选：A．

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．