Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且当n≥2时，有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{{S}^{2}}_{n}}$=1成立，则S₂₀₁₇=$\frac{1}{1009}$．

Answer 1

分析 当n≥2时，有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{{S}^{2}}_{n}}$=1成立，可得2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-${S}_{n}^{2}$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵当n≥2时，有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{{S}^{2}}_{n}}$=1成立，∴2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-${S}_{n}^{2}$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，公差为$\frac{1}{2}$，首项为1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，解得S_n=$\frac{2}{n+1}$．
∴S₂₀₁₇=$\frac{2}{2018}$=$\frac{1}{1009}$．
故答案为：$\frac{1}{1009}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．