Question

2．在△ABC中，角A、B均为锐角，则cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 利用诱导公式cos（ $\frac{π}{2}$-α）=sinα及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案．

解答 解：因为cosA＜sinB，所以cosA＞cos（$\frac{π}{2}$-B），
又因为角A，B均为锐角，所以$\frac{π}{2}$-B为锐角，
又因为余弦函数在（0，π）上单调递减，
所以A＜$\frac{π}{2}$-B，所以A+B＜$\frac{π}{2}$
△ABC中，A+B+C=π，所以C＞$\frac{π}{2}$，
所以△ABC为钝角三角形，
若△ABC为钝角三角形，角A、B均为锐角
所以C＞$\frac{π}{2}$，
所以A+B＜$\frac{π}{2}$
所以A＜$\frac{π}{2}$-B，
所以cosA＞cos（$\frac{π}{2}$-B），
即cosA＞sinB
故cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的充要条件．
故选：C

点评 本题考查诱导公式及正弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档题．