Question

16．已知函数$f（x）=2x-\frac{a}{x}$，且f（1）=3
（1）求a的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由于f（1）=3，必有2×1-$\frac{a}{1}$=3，解可得a的值，即可得答案；
（2）由（1）可得函数的解析式，分析其定义域可得其定义域关于原点对称，求出f（-x）可得f（-x）=-f（x），即可得函数为奇函数；
（3）根据题意，设x₁＞x₂＞1，由作差法分析可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），结合x₁＞x₂＞1，分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0；由增函数的定义即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，对于函数$f（x）=2x-\frac{a}{x}$，有f（1）=3
则有2×1-$\frac{a}{1}$=3，解可得a=-1，
（2）由于a=-1，f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又由f（-x）=-（2x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
故函数f（x）为奇函数；
（3）证明：设x₁＞x₂＞1，
f（x₁）-f（x₂）=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（2x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
有由x₁＞x₂＞1，则（x₁-x₂）＞0且（$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
则有f（x₁）-f（x₂）＞0；
故函数f（x）为增函数．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的判定与应用，关键是由f（1）=3求出函数的解析式．