Question

6．已知在极坐标系中曲线C是以点（1，$\frac{π}{4}$）为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点O，极轴为x轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出l的普通方程及曲线C的极坐标方程；
（2）判断l与C是否相交，若相交，设交点为P，Q两点，求线段PQ的长，若不相交，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将直线l的参数方程两式相减即可消去参数t得出普通方程，求出曲线C的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得出关于参数t方程，根据方程解的个数判断位置关系，利用根与系数的关系和参数的几何意义计算|PQ|．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴x-y=-1，即x-y+1=0．∴直线l的普通方程为x-y+1=0；
极坐标（1，$\frac{π}{4}$）对应的直角坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴圆C的标准方程为（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，即x²+y²-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0．
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρ²-$\sqrt{2}$ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ=0，即ρ=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ．
∴曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ．
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程x²+y²-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0，
得：t²-（2+$\sqrt{2}$）t+$\sqrt{2}$+1=0，
∵△=（2+$\sqrt{2}$）²-4（$\sqrt{2}+1$）=2＞0，
∴方程t²-（2+$\sqrt{2}$）t+$\sqrt{2}$+1=0有两解t₁，t₂，
∴t₁+t₂=2+$\sqrt{2}$，t₁t₂=$\sqrt{2}+1$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴直线l与圆C相交，|PQ|=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．