Question

8．若$z=\frac{{{{（1+i）}^4}{{（-1-\sqrt{3}i）}^7}}}{{{{（1-i）}^{12}}}}$，则|z|=8．

Answer 1

分析 利用复数的运算法则、棣莫佛定理即可得出．

解答 解：∵（1+i）⁴=（2i）²=-4，（1-i）¹²=[（1-i）²]⁶=（-2i）⁶=-64．
$（-1-\sqrt{3}i）^{7}$=$（-2）^{7}（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）^{7}$=-128×$（cos\frac{7π}{3}+isin\frac{7π}{3}）$=-128$（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=-64$（1+\sqrt{3}i）$．
∴z=$\frac{-4×[-64（1+\sqrt{3}i）]}{-64}$=-4-4$\sqrt{3}$i．
∴|z|=$\sqrt{{4}^{2}+（-4\sqrt{3}）^{2}}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了复数的运算法则、棣莫佛定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．