Question

6．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，-2），O为坐标原点，动点M满足|$\overrightarrow{CM}$|=1，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}+1$
• B． $\sqrt{7}+1$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{7}$-1

Answer 1

分析 设点M的坐标是（x，y），由两点之间的距离公式化简|$\overrightarrow{CM}$|=1，判断出动点M的轨迹，由向量的坐标运算求出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$，表示出|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|并判断几何意义，转化为圆外一点与圆上点的距离最值问题，即可求出答案．

解答 解：设点M的坐标是（x，y），
∵C（0，-2），且|$\overrightarrow{CM}$|=1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}=1$，则x²+（y+2）²=1，
即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，
∵A（0，1），B（1，0），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$=（x+1，y+1），
则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$，几何意义表示：
点M（x，y）与点A（-1，-1）之间的距离，即圆C上的点与点A（-1，-1）的距离，
∵点A（-1，-1）在圆C外部，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|的最大值是|AC|+1=$\sqrt{（0+1）^{2}+（-2+1）^{2}}$+1=$\sqrt{2}+1$，
故选A．

点评 本题考查向量的坐标运算、向量的模，动点的轨迹以及轨迹方程，两点之间的距离公式，以及圆外一点与圆上点的距离最值问题，考查转化思想．