Question

设函数f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若AB=1，sinB=

1

3

，求AC的长．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：利用两角差的余弦函数以及正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）利用正弦函数的单调增区间求解函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用第一问的结果求出C的正弦函数值，结合设A，B，C为△ABC的三个内角，若AB=1，sinB=

1

3

，利用正弦定理即可求AC的长．

解答： （本小题共13分）
解：f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x
=cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

+sin2x=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)…（3分）
（I）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，则kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．…（6分）
（II）由已知f(

C

2

)=sin(C+

π

3

)=

3

2

，…．（8分）
因为0＜C＜π，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

4π

3

所以C+

π

3

=

2π

3

，C=

π

3

，所以sinC=

3

2

．…（10分）
在△ABC中，由正弦定理，

AC

sinB

=

AB

sinC

，得AC=

AB•sinB

sinC

=

1 3

3 2

=

2 3

9

．…..（13分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．