Question

20．有下列结论：
①y=2014$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{2-x}$是函数；      
②设集合M={（x，y）|${\frac{y+2}{x-2}$=1}，N={（x，y）|ax+y+2=0}，若M∩N=∅，则a=-1；
③函数f（x）满足f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=x，则f（2）=-1；
④不等式（x-5）²$\frac{{{x^2}-7x+12}}{{-|x-2{|^2}}}$≥0的解集为{x|3≤x≤4}；
⑤函数y=$\frac{3x-2}{2x+1}$（x≥1）的值域为[$\frac{1}{3}，\frac{3}{2}$）．
以上结论正确的有③⑤（将所有正确的结论序号填在横线上）

Answer 1

分析 ①由$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，解得x∈∅，即可判断出正误；
②设集合M={（x，y）|${\frac{y+2}{x-2}$=1}={（x，y）|y=x-4，x≠2}，对于：ax+y+2=0，化为y=-ax-2，利用两条直线相交于点（2，-2）或平行时都可得M∩N=∅，可得a，即可判断出正误；
③函数f（x）满足f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=x，可得f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=$\frac{1}{x}$，联立解得：f（x）=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3x}$，可得f（2），即可判断出结论；
④不等式（x-5）²$\frac{{{x^2}-7x+12}}{{-|x-2{|^2}}}$≥0?x-5=0，x-2≠0，或x²-7x+12≤0，且x-2≠0，解出即可判断出结论．
⑤函数y=$\frac{3x-2}{2x+1}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{7}{4x+2}$，由x≥1，可得$\frac{7}{4x+2}$∈$（0，\frac{7}{6}]$，即可得出值域．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，解得x∈∅，因此y=2014$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{2-x}$不是函数，因此不正确；
②设集合M={（x，y）|${\frac{y+2}{x-2}$=1}={（x，y）|y=x-4，x≠2}，N={（x，y）|ax+y+2=0}，把（2，-2）代入ax+y+2=0，可得2a-2+2=0，解得a=0．满足M∩N=∅，则a=0；
当$\left\{\begin{array}{l}{-a=1}\\{-2≠-4}\end{array}\right.$，即a=-1时，直线y=x-4，与ax+y+2=0平行，也满足满足M∩N=∅，因此不正确；
③函数f（x）满足f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=x，∴f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=$\frac{1}{x}$，联立解得：f（x）=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3x}$，则f（2）=-$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$=-1，因此正确；
④不等式（x-5）²$\frac{{{x^2}-7x+12}}{{-|x-2{|^2}}}$≥0?x-5=0，x-2≠0，或x²-7x+12≤0，且x-2≠0，解得x=5或3≤x≤4．因此不等式的解集为{x|3≤x≤4或x=5}，不正确；
⑤函数y=$\frac{3x-2}{2x+1}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{7}{4x+2}$，∵x≥1，∴$\frac{7}{4x+2}$∈$（0，\frac{7}{6}]$，∴y∈$[\frac{1}{3}，\frac{3}{2}）$，因此正确．
以上结论正确的有③⑤．
故答案为：③⑤．

点评 本题考查了函数的定义域与值域、函数的单调性、不等式的解法与性质、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．