Question

下列函数在定义域上既是奇函数，又是单调递增函数的是（　　）

• A、y=x|x|
• B、y=e^x+e^-x
• C、y=

  x-1，  x≥0 0，  x=0 x+1，  x＜0

• D、y=x

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  2

Answer 1

考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：A．运用函数的奇偶性定义和单调性，注意去绝对值，即可判断A；
B．由奇偶性定义判断为偶函数，故B不正确；
C．由奇偶性定义判断为奇函数，但不为增函数，可举反例；
D．由定义域不关于原点对称，即可判断函数不具有奇偶性．

解答： 解：A．f（x）=x|x|的定义域为R，f（-x）=-x|-x|=-f（x）∴函数在定义域上是奇函数，
当x≥0时，y=x²为增函数，当x＜0时，y=-x²为增函数，且函数为连续函数，∴此函数为单调递增函数．
故A正确；
B．f（x）=e^x+e^-x的定义域为R，f（-x）=e^-x+e^x即f（x）=f（-x），∴此函数是偶函数不是奇函数，故B错误；
C．当x=0时，f（0）=0，f（-x）=-f（x），∵x＞0，f（x）=x-1；x＜0时，f（x）=x+1．若x＜0则-x＞0，f（-x）=-x-1=-f（x），
若x＞0则-x＜0，f（-x）=-x+1=-f（x），故对x∈R，f（-x）=-f（x），即f（x）奇函数，可举x₁=-1，x₂=

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，f（x₁）=0，f（x₂）=-

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2

，即x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），故C项错误；
D．y=x

5

2

=

2	x5

的定义域为{x|x≥0}不关于原点对称，∴此函数没有奇偶性，故D项错误．
故选A．

点评：本题主要考查函数的性质：奇偶性、单调性，注意函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，函数的单调性的判断，必须注意定义中的任意自变量．