Question

8．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）-m+1＜0在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=2$sin（2x-\frac{π}{3}）$．再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．
（2）由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[0，\frac{2π}{3}]$．可得$sin（2x-\frac{π}{3}）$取值范围．根据不等式f（x）-m+1＜0在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得m＞[f（x）+1]_max．

解答 解：（1）f（x）=-$cos（\frac{π}{2}+2x）$-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2$sin（2x-\frac{π}{3}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间是[$kπ-\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
则$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[0，\frac{2π}{3}]$．
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）$∈[0，1]．
∴f（x）∈[0，1]．
∵不等式f（x）-m+1＜0在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
∴m＞[f（x）+1]_max=2．
∴实数m的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．