Question

18．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=2，且a₁，a₂，a₃-8成等差数列，数列{a_nb_n}的前n项和为$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$．
（1）分别求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列c_n=$\frac{2b_n-9}{a_n}$，?_n∈N^*，c_n≤m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2a₂=a₁+a₃-8，进一步得到$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}-8$，求出公比后可得数列{a_n}的通项公式，再由数列{a_nb_n}的前n项和为$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$，利用错位相减法求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由c_n=$\frac{2b_n-9}{a_n}$，可得${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{2n-7}{2•{3}^{n}}-\frac{2n-9}{2•{3}^{n-1}}=\frac{-4n+20}{2•{3}^{n}}$，然后对n分类讨论得答案．

解答 解：（1）∵a₁=2，且a₁，a₂，a₃-8成等差数列，∴2a₂=a₁+a₃-8，
即$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}-8$，∴q²-2q-3=0，
即q=3或-1，而q＞1，∴q=3，则${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$，
∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$，
∴${a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+…+{a}_{n-1}{b}_{n-1}=\frac{（2n-3）•{3}^{n-1}=1}{2}（n≥2）$，
两式相减得：${a}_{n}{b}_{n}=2n•{3}^{n-1}（n≥2）$，
∵${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$，∴b_n=n（n≥2），
又n=1时，可得b₁=1，
∴b_n=n；
（2）由（1）得，${c}_{n}=\frac{2n-9}{2•{3}^{n-1}}$，
∴${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{2n-7}{2•{3}^{n}}-\frac{2n-9}{2•{3}^{n-1}}=\frac{-4n+20}{2•{3}^{n}}$，
当c_n+1=c_n，即n=5时，c₅=c₆；
当c_n+1＞c_n，即n＜5时，c₁＜c₂＜c₃＜c₄＜c₅；
当c_n+1＜c_n，即n＞5时，c₆＞c₇＞c₈＞…．
∴c_n的最大值是${c}_{5}={c}_{6}=\frac{1}{162}$．
∴m的最小值为$\frac{1}{162}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，考查数列不等式，是中档题．