Question

10．已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log₂x＞1}．
（1）求（∁_RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若 C⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出C_RB，进而由并集的运算法则，即可求出（C_RB）∪A；
（2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=∅和C≠∅两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答 解：（1）A={x|3≤3^x≤27}={x|1≤x≤3}…（1分）
B={x|log₂x＞1}={x|x＞2}…（3分）
（C_RB）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（6分）
（2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…（8分）
当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…（10分）
综上所述，a的取值范围是（-∞，3]…（12分）

点评 本题考查的知识点是集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，指数不等式的解法，对数不等式的解法，其中解指数不等式和对数不等式求出集合A，B是解答本题的关键，在（2）的解答中易忽略C为空集也满足条件而错解为（1，3]，也容易忽略最后要的结果为集合，不能用不等式的形式表达．