Question

13．在△ABC中，已知三条边上的高线长分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{7}$，则△ABC的最大内角为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意设三条高对应的三角形边长分别为：a，b，c，则由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×$a=$\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×$b=$\frac{1}{2}×\frac{1}{7}×c$，化简可得：35a=21b=15c，得b=$\frac{35a}{21}$，c=$\frac{35a}{15}$，C为三角形最大内角，利用余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），即可解得C的值．

解答 解：∵在△ABC中，已知三条边上的高线长分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{7}$，
∴设三条高对应的三角形边长分别为：a，b，c，则由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×$a=$\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×$b=$\frac{1}{2}×\frac{1}{7}×c$，化简可得：35a=21b=15c，
∴解得：b=$\frac{35a}{21}$，c=$\frac{35a}{15}$，C为三角形最大内角，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（\frac{35a}{21}）^{2}-（\frac{35a}{15}）^{2}}{2×a×\frac{35a}{21}}$=-$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．