Question

4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C₂的极坐标方程为ρ-6sinθ+8cosθ=0（ρ≥0）．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程：
（2）直钱l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t为参数）过曲线C₁与y轴负半轴的交点，求直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可化为普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ-6sinθ+8cosθ=0（ρ≥0），
可得ρ²-6ρsinθ+8ρcosθ=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）曲线C₁与y轴负半轴的交点（0，-3），又直线l方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t为参数），可得直线l的斜率k=$\frac{3}{4}$．设与直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程为y=$\frac{3}{4}$x+m．利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
曲线C₂的极坐标方程为ρ-6sinθ+8cosθ=0（ρ≥0），
∴ρ²-6ρsinθ+8ρcosθ=0，化为x²+y²-6y+8x=0，即（x+4）²+（y-3）²=25．
（2）曲线C₁与y轴负半轴的交点（0，-3），
又直线l方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t为参数），
可得直线l的斜率k=$\frac{-3+\frac{3}{2}}{0-2}$=$\frac{3}{4}$．
设与直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程为y=$\frac{3}{4}$x+m．
则$\frac{|3×（-4）-4×3+4m|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=5，
化为：m=$\frac{49}{4}$或-$\frac{1}{4}$．
∴要求的直线方程为：3x-4y+49=0，或3x-4y-1=0．

点评 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的相切性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．