Question

19．已知四棱锥P-ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，$PA=AD=\frac{1}{2}AB$，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且$AN=CS=\frac{1}{4}AB$．
（1）证明：DM⊥SN；
（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点E，连接EM、ED，推导出EM⊥SN，ES⊥ED，由此能证明SN⊥DM．
解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用同量法能求出SN与平面DMN所成角的余弦值．

解答 证明：（1）如图，取AB中点E，连接EM、ED，…（1分）
∵M为PB中点，所以EM∥PA…（2分）
又PA⊥面ABCD，SN?面ABCD，
∴PA⊥SN，所以EM⊥SN…（3分）
∵$AD=\frac{1}{2}AB=AE$，所以∠AED=45°…（4分）
过S作SF⊥AB交AB于F则NF=FS，∴∠FNS=45°
∴ES⊥ED…（5分）又ED∩ME=E，SN⊥平面EDM
∴SN⊥DM…（6分）
解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），D（0，1，0），$M（1，0，\frac{1}{2}）$，$N（\frac{1}{2}，0，0）$，$S（\frac{3}{2}，1，0）$…（7分）
$\overrightarrow{DM}=（1，-1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{SN}=（-1，-1，0）$，$\overrightarrow{DN}=（\frac{1}{2}，-1，0）$，
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为平面DMN的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{DM}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{DN}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{1}{2}z=0\\ \frac{1}{2}x-y=0\end{array}\right.$…（8分）
取x=2，得$\overrightarrow n=（2，1，-2）$…（9分）
设SN与平面DMN所成角为α
∴$sinα=|cos＜\overrightarrow{SN}，\overrightarrow n＞|=\frac{|-2-1-0|}{{\sqrt{2}•\sqrt{9}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
∴$cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
∴SN与平面DMN所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直、线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．