Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=4．a_n=4-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$（n＞1，n∈N₊）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$．
（1）试判{b_n}是否为等差数列？说明理由．
（2）若a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$（n＞1，n∈N₊），能否判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列？

Answer 1

分析 （1）计算b${\;}_{{\;}_{n}}$-b_n-1观察结果是否为常数作出判断；
（2）计算$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$观察结果是否为常数作出判断．

解答 解：（1）∵a_n=4-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$，∴a_n-2=2-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2（{a}_{n-1}-2）}{{a}_{n-1}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}-2}$=$\frac{{a}_{n-1}}{2（{a}_{n-1}-2）}$．
∴b${\;}_{{\;}_{n}}$-b_n-1=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$=$\frac{{a}_{n-1}}{2（{a}_{n-1}-2）}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$=$\frac{{a}_{n-1}-2}{2（{a}_{n-1}-2）}$=$\frac{1}{2}$．
∴{b_n}是等差数列．
（2）∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{4{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4．
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列．

点评 本题考查了等差数列的判定，数列的递推公式，属于基础题．