Question

18．如图，设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为菱形，A₁C与底面垂直．过点C作平面与四棱柱的侧棱垂直，且分别交A₁A于点E，交BB₁于点F，交DD₁于点G．
（1）证明：面A₁CC₁⊥面EFCG；
（2）证明：四边形EFCG为菱形．

Answer 1

分析 （1）利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明；
（2）证明CE⊥FG，即可证明四边形EFCG为菱形．

解答 证明：（1）∵过点C作平面与四棱柱的侧棱垂直，且分别交A₁A于点E，交BB₁于点F，交DD₁于点G，
∴CC₁⊥面EFCG，
∵CC₁?面A₁CC₁，
∴面A₁CC₁⊥面EFCG；
（2）由（1）可知四边形EFCG为平行四边形，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为菱形，
∴AC⊥BD．
∵A₁C与底面垂直，
∴CE在平面ABCD上的射影为AC，FG在平面ABCD上的射影为BD，
∴CE⊥FG，
∴四边形EFCG为菱形．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理，考查线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．