Question

6．要做一个容积为250πm³的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？

Answer 1

分析 设半径为R，高为h，根据圆柱的体积公式求出半径和高的关系，求出总造价的函数表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值．

解答 解：设半径为R，高为h，池壁单位造价为a，则池底单位造价为2a，
则由圆柱的体积公式得πR²h=250π，
即R²H=250，
则h=$\frac{250}{{R}^{2}}$，
则底面积πR²，侧面积：2πRh=2πR•$\frac{250}{{R}^{2}}$=$\frac{500π}{R}$，
总造价y=2aπR²+$\frac{500π}{R}$，•a，
则函数的导数y′=4aπR-$\frac{500πa}{{R}^{2}}$=2aπ（2R-$\frac{250}{{R}^{2}}$）=2aπ•$\frac{2{R}^{3}-250}{{R}^{2}}$，
由y′=0，得2R³=250，即R³=125，R=5，
即当R＞5时，y′＞0，当0＜R＜5时，y′＜0，
即当R=5时，函数取得极小值同时也是最小值．
此时高h=$\frac{250}{{R}^{2}}$=10，
即蓄水池的底面半径为5米，高为10米时，总造价最低．

点评 本题主要考查生活中的优化问题，根据条件求出函数的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．