Question

3．观察下列数列当n→∞时有无极限：
（1）1，-1，1，…，（-1）^n-1，…；
（2）$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，…，$\frac{1}{{2}^{n}}$，…；
（3）$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，…，$\frac{n}{n+1}$，…；
（4）1，3，5，…，2n-1，…

Answer 1

分析 （1）讨论n为奇数或偶数，即可判断是否存在极限；
（2）当n→∞时，$\frac{1}{{2}^{n}}$→0，可得极限；
（3）运用当n→∞时，$\frac{1}{n}$→0，即可得到所求极限；
（4）当n→∞时，a_n=2n-1→+∞，即可判断是否存在极限．

解答 解：（1）由a_n=（-1）^n-1，可得n为偶数时，a_n=1；n为奇数时，a_n=-1．则当n→∞时a_n无极限；
（2）当n→∞时，$\frac{1}{{2}^{n}}$→0，可得极限为0；
（3）当n→∞时，$\frac{1}{n}$→0，可得$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$→1，
则所求极限为1；
（4）当n→∞时，a_n=2n-1→+∞，
可得a_n无极限．

点评 本题考查数列极限的求法，注意运用数列极限的公式，考查运算能力，属于基础题．