Question

若椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

3

2

，点D（

a

2

，

3

2

）在该椭圆上．
（1）求椭圆方程；
（2）在直线x=

4 3

3

上任取点P，过P作椭圆切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），证明：直线PA方程为

x1x

4

+yy₁=1，且直线AB过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用椭圆的离心率公式，点在椭圆上，及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；
（2）设出直线PA的方程，联立椭圆方程，消去y，再由相切的条件，得到判别式为0，化简整理，结合A在椭圆上，即可得到直线PA的方程，进而得到直线PB的方程，求出直线AB的斜率，求出AB的方程，即可得到恒过定点．

解答： （1）解：由于椭圆的离心率为

3

2

，即有e=

c

a

=

3

2

，①
点D（

a

2

，

3

2

）在该椭圆上，则有

1

4

+

3

4b2

=1，
解得，b=1，则a²-c²=1，②
由①②解得，a=2，c=

3

．
则椭圆方程为：

x2

4

+y²=1；
（2）证明：设直线PA：y-y₁=k（x-x₁），
联立椭圆方程x²+4y²=4，
消去y，可得，（1+4k²）x²+8k（y₁-kx₁）x+4（y₁-kx₁）²-4=0，
由于相切，则有判别式△=64k²（y₁-kx₁）²-16（1+4k²）[（y₁-kx₁）²-1]=0，
化简得，（y₁-kx₁）²-1-4k²=0，
由于A在椭圆上，则x₁²+4y₁²=4，即有x₁²-4=-4y₁²，y₁²-1=-

1

4

x₁²，
则有（y₁²-1）+k²（x₁²-4）-2kx₁y₁=0，
即有-

1

4

x₁²-4k²y₁²-2kx₁y₁=0，即（

x1

2

+2ky₁）²=0，
则k=

x1

-4y1

，代入直线PA的方程，则有y-y₁=

x1

-4y1

（x-x₁），
整理，即得

x1x

4

+y₁y=

x12

4

+y₁²=1，
则直线PA方程为

x1x

4

+yy₁=1．
同理可得直线PB的方程为

x2x

4

+y₂y=1，
设P（

4 3

3

，n），则有

3

3

x₁+ny₁=1，

3

3

x₂+ny₂=1，
两式相减可得，

3

3

（x₁-x₂）+n（y₁-y₂）=0，
则有AB的斜率为：k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

3

3n

，
则直线AB：y-y₁=-

3

3n

（x-x₁），
即有ny-ny₁=ny-（1-

3

3

x₁）=-

3

3

x+

3

3

x₁，
即有ny=1-

3

3

x，由

1- 3 3 x=0 y=0

解得，

x= 3 y=0

．
则有恒过定点（

3

，0），

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用判别式为0，考查直线的斜率公式，直线恒过定点问题，考查化简整理运算能力，属于中档题．