Question

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为

6

．
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（

2

，2）的直线l与圆O相切，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）画出图形，结合图形，利用勾股定理求出圆O的半径，写出圆O的标准方程；
（2）讨论直线l的斜率是否垂直，利用圆心O到直线l的距离d=r，求出斜率，得出直线l的方程．

解答： 解：（1）画出图形，如图所示；
过点O作OC垂直于直线AB，垂足为C，连接OB，
OC=

|1×0-1×0+1|

12+(-1)2

=

2

2

，
∴圆O的半径为OB=

OC2+( AB 2 )2

=

( 2 2 )2+( 6 2 )2

=

2

；
∴圆O的标准方程为x²+y²=2；
（2）设直线l的斜率为k，则直线过点P（

2

，2），
方程为y-2=k（x-

2

），
即kx-y+2-

2

k=0；
又圆心O到直线l的距离为d=r，
∴

|2- 2 k|

k2+1

=

2

，
解得k=

2

4

，
此时圆的切线方程为

2

x-4y+6=0；
当斜率k不存在时，圆的切线方程为x-

2

=0；
综上，切线l的方程为

2

x-4y+6=0或x-

2

=0．

点评：本题考查了直线与圆相切的应用问题，解题时通常应用圆心到直线的距离等于半径来解答，是基础题目．