Question

已知数列{a_n}的首项为a（a≠0），前n项和为f(-

a+1

a

)=-ae-

a+1

a

，且有S_n+1=tS_n+a（t≠0），b_n=S_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当t=1时，若对任意n∈N^*，都有|b_n|≥|b₅|，求a的取值范围；
（Ⅲ）当t≠1时，若c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，求能够使数列{c_n}为等比数列的所有数对（a，t）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出{a_n}是首项为a，公比为t的等比数列，由此能求出an=atn-1．
（Ⅱ）当t=1时，S_n=an，b_n=an+1，当a＞0时，不合题意；当a＜0时，由题意知：b₄＞0，b₆＜0，且

b4≥|b5| -b6≥|b5|

，由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）bn=1+

a-atn

1-t

，{c_n}为等比数列，从而

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

，由此能求出满足条件的数对是（1，2）．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，由S₂=tS₁+a，解得a₂=at，
当n≥2时，S_n=tS_n-1+a，
∴（S_n+1-S_n）=t（S_n-S_n-1），即a_n+1=ta_n
又a₁=a≠0，综上有

an+1

an

=t(n∈N*)，
即{a_n}是首项为a，公比为t的等比数列，
∴an=atn-1．
（Ⅱ）当t=1时，S_n=an，b_n=an+1，
当a＞0时，{b_n}单调递增，且b_n＞0，不合题意；
当a＜0时，{b_n}单调递减，由题意知：b₄＞0，b₆＜0，
且

b4≥|b5| -b6≥|b5|

解得-

2

9

≤a≤-

2

11

，
综上a的取值范围为[-

2

9

，-

2

11

]．
（Ⅲ）∵t≠1，∴bn=1+

a-atn

1-t

，
∴cn=2+(1+

a

t-1

)n-

a

1-t

(t+t2+…+tn)=2+(1+

a

t-1

)n-

at(1-tn)

(1-t)2

=2-

at

(1-t)2

+(1+

a

t-1

)n+

atn+1

(1-t)2

由题设知{c_n}为等比数列，
∴

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

，
解得

a=1 t=2

，
即满足条件的数对是（1，2）．

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查a的取值范围的求法，考查能够使数列{c_n}为等比数列的所有数（a，t）的求法，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．