Question

已知a_n=2n-1，设T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

…+

1

anan+1

，是否存在m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：首先确定数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，再进一步利用等比中项求出m和n的关系式，进行讨论求出结果．

解答： 解：已知a_n=2n-1，
所以：a_n+1=2n+1，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

所以：T1=

1

3

，Tm=

m

2m+1

，Tn=

n

2n+1

若T₁，T_m，T_n成等比数列
所以：(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)
整理得：

(2m+1)2

m2

=

3(2n+1)

n

=6+

3

n

所以：n=

3m2

-2m2+4m+1

=

3

( 1 m +2)2-6

由于n＞0
所以：(

1

m

+2)2-6＞0
解得：m＜

2+ 6

2

当m=2，n=12
所以存在m=2，n=12
使得T₁，T_m，T_n成等比数列成立．

点评：本题考查的知识要点：利用裂项相消法求数列的和，等比中项的应用．存在性问题的判断．属于中等题型．