Question

已知

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），且函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及最大值；
（2）若f（θ+

π

12

）=1，且θ为锐角，求sinθ+cosθ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简先求解析式f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，从而可求得函数f（x）的最小正周期及最大值；
（2）由f（θ+

π

12

）=1，可先解得sin（2θ+

π

3

）=

1

2

，由θ为锐角，即可解得θ=

π

6

，从而可求sinθ+cosθ的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）_max=

3

2

．
（2）∵f（θ+

π

12

）=1，即sin[2×（θ+

π

12

）+

π

6

]+

1

2

=1，可解得sin（2θ+

π

3

）=

1

2

，
∵θ为锐角，∴

π

3

＜2θ+

π

3

＜

4π

3

，
∴2θ+

π

3

=

2π

3

，可解得：θ=

π

6

，
∴sinθ+cosθ=

1

2

+

3

2

=

1+ 3

2

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．