Question

9．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．
（Ⅰ）若A点的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．求$\frac{{{{sin}^2}α+sin2a}}{{{{cos}^2}α+cos2α}}$的值；
（Ⅱ）求|BC|²的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，求得所给式子的值．
（Ⅱ）由题意可得∠AOB=$\frac{π}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），由余弦定理以及余弦函数的定义域和值域，求得|BC|²的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）若A点的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，则cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{{{{sin}^2}α+sin2a}}{{{{cos}^2}α+cos2α}}$=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα}{{3cos}^{2}α-1}$=$\frac{\frac{16}{25}+\frac{24}{25}}{3•\frac{9}{25}-1}$=20．
（Ⅱ）由题意可得∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得|BC|² =OB²+OC²-2OB•OC•cos（$\frac{π}{3}$+α）=1+1-2cos（$\frac{π}{3}$+α），
∵∠AOC=α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{π}{3}$+α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），cos（$\frac{π}{3}$+α）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴-2cos（$\frac{π}{3}$+α）∈（-1，$\sqrt{3}$），∴1+1-2cos（$\frac{π}{3}$+α）∈（1，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，余弦定理，余弦函数的值域，属于中档题．