Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{1-{2}^{x+1}+{4}^{x}}$
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的最小值；
（3）作出f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）由被开方式非负，可得定义域为R，化简f（x）═|2^x-1|，讨论x≥0，x＜0，结合指数函数的单调性，可得f（x）的单调区间；
（2）由f（x）的单调区间，可得f（0）取得最小值；
（3）将f（x）写成分段函数，由指数函数和分段函数的图象画法，可得f（x）的图象．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，可得1-2^x+1+4^x≥0，
即为（2^x-1）²≥0，
由2^x＞0，可得函数的定义域为R，
则f（x）=$\sqrt{（{2}^{x}-1）^{2}}$=|2^x-1|，
当x≥0，即2^x≥1，即有f（x）=2^x-1；f（x）递增；
当x＜0时，即2^x＜1，即有f（x）=1-2^x；f（x）递减．
综上可得，f（x）的增区间为[0，+∞），减区间为（-∞，0）；
（2）由（1）可得，f（x）的增区间为[0，+∞），减区间为（-∞，0），
可得f（0）取得最小值|2⁰-1|=0
（3）由f（x）=$\sqrt{（{2}^{x}-1）^{2}}$=|2^x-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≥0}\\{1-{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
由分段函数和指数函数的图象，可得f（x）的图象，如右：

点评 本题考查函数的性质和应用，主要是函数的单调性和最值，同时考查函数的图象，注意运用指数函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．