Question

20．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为4，且f（1）＞1，f（2）=m²-2m，$f（3）=\frac{2m-5}{m+1}$，则实数m的取值集合是（　　）

• A． $\{m|m＜\frac{2}{3}\}$
• B． {0，2}
• C． $\{m|-1＜m＜\frac{4}{3}\}$
• D． {0}

Answer 1

分析 根据周期性和奇偶性的性质进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为4，
∴f（3）=f（3-4）=f（-1）=-f（1）＜-1，
即$f（3）=\frac{2m-5}{m+1}$＜-1，即$\frac{2m-5}{m+1}$+1=$\frac{3m-4}{m+1}$＜0，得-1＜m＜$\frac{4}{3}$，
∵f（x+4）=f（x），∴f（-2+4）=f（-2），
即f（2）=-f（2），则f（2）=0，
则f（2）=m²-2m=0，则m=0或m=2，
综上m=0，
故实数m的取值集合是{0}，
故选：D．

点评 本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，根据周期性和奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．