精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,在三棱锥中,底面,点分别在棱上,且      (Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)当的中点时,求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
解:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.………
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,
与平面所成角的正弦值为.………
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.      
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角是直二面角. ………
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系
,由已知可得 .
(Ⅰ)∵,     
,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.………
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,

.
与平面所成的角的大小.……
(Ⅲ)同解法1.………
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)如图,已平面平面,△为等边三角形,的中点.
(1) 求证:平面
(2) 求证:平面平面
(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设m、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则   ②若,则
③若,则  ④若,则
其中正确命题的序号是 (     )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,
AB=,AF=1,M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;
(Ⅱ) 求二面角A-DF-B的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

.如图:四边形为正方形,为矩形,平面的中点(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)求证平面平面
(Ⅲ)求二面角的余弦植。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知平面与平面相交,直线,则(  )
A.内必存在直线与平行,且存在直线与垂直
B.内不一定存在直线与平行,不一定存在直线与垂直
C.内不一定存在直线与平行,但必存在直线与垂直
D.内必存在直线与平行,不一定存在直线与垂直

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

 已知是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若;    ②若
③如果相交;
④若其中正确的命题是 (     )
A.①④B.②③C.③④D.①②

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知下列命题(其中为直线,为平面):
① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;
② 若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;
③ 若,则
④ 若,则过有且只有一个平面与垂直.
上述四个命题中,真命题是( ※  )
A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为
    
A.48B.32+8C.48+8D.80

查看答案和解析>>

同步练习册答案