Question

将函数f（x）=sin（x+

φ

2

）cos（x+

φ

2

）（φ＞0）的图象沿x轴向右平移

π

8

个单位后，得到一个偶函数的图象．
（1）则φ的最小值是

 

；
（2）过Q（

π

8

，0）的直线l与函数f（x）的两个交点 M、N的横坐标满足0＜x_M＜

π

8

，

π

8

＜x_N＜

π

4

，则

ON

•

OQ

-

MO

•

OQ

的值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用倍角公式可得：f（x）=

1

2

sin(2x+φ)，（φ＞0）．由于函数f（x）的图象沿x轴向右平移

π

8

个单位后，得到一个偶函数的图象．可得f(x-

π

8

)=

1

2

sin(2x-

π

4

+φ)=±

1

2

cos2x，进而得出φ的最小值；
（2）由（1）可得：f（x）=

1

2

sin(2x+

3π

4

)，可得f(

π

8

)=0，函数f（x）的图象关于点Q（

π

8

，0）中心对称．由于过Q（

π

8

，0）的直线l与函数f（x）的两个交点 M、N的横坐标满足0＜x_M＜

π

8

，

π

8

＜x_N＜

π

4

，可得

ON

+

OM

=2

OQ

．再利用数量积运算性质即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

sin(2x+φ)，（φ＞0）．
∵函数f（x）的图象沿x轴向右平移

π

8

个单位后，得到一个偶函数的图象．
∴f(x-

π

8

)=

1

2

sin(2x-

π

4

+φ)=±

1

2

cos2x，
∴2x-

π

4

+φ=2x-

π

2

+2kπ或2x-

π

4

+φ=2kπ+π-(

π

2

-2x)，k∈Z．
解得φ的最小值为：

3π

4

．
（2）由（1）可得：f（x）=

1

2

sin(2x+

3π

4

)，
∴f(

π

8

)=0，
因此函数f（x）的图象关于点Q（

π

8

，0）中心对称，
∵过Q（

π

8

，0）的直线l与函数f（x）的两个交点 M、N的横坐标满足0＜x_M＜

π

8

，

π

8

＜x_N＜

π

4

，
∴

ON

+

OM

=2

OQ

．
∴

ON

•

OQ

-

MO

•

OQ

=2

OQ

2=2×(

π

8

)2=

π2

32

．
故答案分别是：

3π

4

，

π2

32

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、图象变换、倍角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．