Question

已知函数f（x）=x²+2ax+1-a，（ a∈R）
（1）若函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[0，1]上的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数y=f（x）在R上至少有一个零点可化为方程x²+2ax+1-a=0至少有一个实数根，从而求得；
（2）函数f（x）=x²+2ax+1-a，对称轴方程为x=-a；从而讨论对称轴以确定函数的单调性，从而求函数f（x）在[0，1]上的最小值，从而解得．

解答： 解：（1）因为函数y=f（x）在R上至少有一个零点，
所以方程x²+2ax+1-a=0至少有一个实数根，
所以△=2a×2a-4（1-a）≥0，
得a＜

-1- 5

2

或a＞

-1+ 5

2

；
（2）函数f（x）=x²+2ax+1-a，对称轴方程为x=-a．
①当-a＜0，即a＞0时，f（x）_min=f（0）=1-a，
∴1-a=-2，∴a=3；
②当0≤-a≤1，即-1≤a≤0时，
f（x）_min=f（-a）=-a²-a+1，
∴-a²-a+1=-2，
∴a=

-1± 13

2

（舍）；
③当-a＞1，即a＜-1时，
f（x）_min=f（1）=2+a，
∴2+a=-2，∴a=-4；
综上可知，a=-4或a=3．

点评：本题考查了二次函数与二次方程的关系应用及分类讨论的数学思想应用，属于基础题．