Question

4．已知函数f（x）=x²-ax-2a²（x∈R）．
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）＜0的解集为A，且A?[-1，2]，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈R时，$\left\{\begin{array}{l}f（|x|）-f（x）=0\\|f（x）|-f（x）=0\end{array}\right.$成立．若存在给出证明，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用集合与集合之间的关系，分类讨论参数a写出不等式，求出a的取值范围；
（2）由题意列出等式，得到f（-x）=f（x）且f（x）≥0成立，从而求出a的值．

解答 解：（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集A≠Φ，则△＞0，即a≠0；
当a＞0时．不等式解集A为（-a，2a）；
由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}-a≤-1\\ 2a≥2\end{array}\right.$∴a≥1；
当a＜0时，不等式解集A为（2a，-a）；
由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}2a≤-1\\-a≥2\end{array}\right.$∴a≤-2；
综上所述：a∈（-∞，-2]∪[1，+∞）；
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}f（|x|）-f（x）=0\\|f（x）|-f（x）=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{f（-x）=f（x）}\\{f（x）≥0}\end{array}\right.$；
所以有：$\left\{\begin{array}{l}{（-x）^{2}-2a（-x）-2{a}^{2}={x}^{2}-2ax-2{a}^{2}}\\{△≤0}\end{array}\right.$；
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{a≤0}\end{array}\right.$⇒a=0；
证明：当a=0时，f（x）=x² ∴f（|x|）-f（x）=|x|²-x²=0；
又∵|f（x）|-f（x）=|x²|-x²=0；
所以：当a=0时，条件成立．

点评 本题主要考查了集合与不等式基础知识点，以及一元二次函数的性质与存在性命题证明，属中等题．