Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂是椭圆Γ的两焦点．
（Ⅰ）若P是椭圆Γ上的任一点，|PF₁|+|PF₂|=4且椭圆Γ的离心率e=

1

2

，求轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知两直线l₁，l₂，直线l₁：y=k₁x+m（m≠0）交椭圆Γ于A、B两点，若C为AB的中点，直线l₂：y=k₂x过点C．求证：k₁•k₂=-

b2

a2

；
（Ⅲ）圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性．在（Ⅱ）中，我们得到关于椭圆的一个优美结论．请你写出关于双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个相类似的结论（不需证明）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知求出椭圆的长半轴长，结合离心率求出半焦距，再由b²=a²-c²求出b²，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线l₁的方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标与纵坐标的和，再把l₂的斜率用含有a，b，k₁的代数式表示，则结论得到证明；
（Ⅲ）直接类比椭圆的结论得到关于双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个相类似的结论．

解答： （Ⅰ）解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
∵|PF₁|+|PF₂|=4，
∴2a=4，即a=2，
又离心率e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b²=4-1=3，
∴椭圆Γ的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
联立

y=k1x+m x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y，得
(b2+a2k12)x2+2k1ma2x+a2m2-a2b2=0．
∴x1+x2=

-2k1ma2

b2+a2k12

，y1+y2=k1•

-2k1ma2

b2+a2k12

+2m=

2mb2

b2+a2k12

．
又x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
∴k2=

y1+y2

x1+x2

=

2mb2

-2k1ma2

=

b2

-k1a2

，
∴k1•k2=k1•

b2

-k1a2

=-

b2

a2

；
（Ⅲ）解：设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0，交双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1于D、G两点，
H为DG的中点，直线L₂：y=k₂x过点H，则k1•k2=

b2

a2

．

点评：本题是直线与圆锥曲线关系的综合题，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．