Question

已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于点P（异于点B），交边AC于点Q（异于点C），设△APQ的面积为S₁，△ABC面积为S₂，

AP

=p

PB

，

AQ

=q

QC

，则

S1

S2

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：先设

AB

=

c

，

AC

=

b

，连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．于是

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

2

（

b

+

c

），

AG

=

1

3

（

b

+

c

）因为P、G、Q三点共线，建立关于参数的等式，消去参数t，可得

1

λ

+

1

μ

=3，由于△APQ与△ABC有公共角，则

S1

S2

=λμ，将其表示成关于λ的函数解析式，利用函数的最值问题即可求出

S1

S2

的取值范围．

解答： 解：（1）设

AB

=

c

，

AC

=

b

，
连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．
于是

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

2

（

b

+

c

），

AG

=

1

3

（

b

+

c

）
又由已知

AP

=λ

AB

=λ

c

，

AQ

=μ

AC

=μ

b

．
∴

PQ

=

AQ

-

AP

=μ

b

-λ

c

，

PG

=

AG

+

PA

=

1

3

（

b

+

c

）-λ

c

=（

1

3

-λ）

c

+

1

3

b

，
因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足

PG

=t

PQ

，
所以（

1

3

-λ）

c

+

1

3

b

=tμ

b

-tλ

c

，
即：

1

3

-λ=-tλ，且tμ=

1

3

，
消去参数t得：

1

λ

+

1

μ

=3，
由于△APQ与△ABC有公共角，则

S1

S2

=

| AP |×| AQ |

| AB |×| AC |

=λμ，
由题设有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是

1

λ

≥1，

1

μ

≥1，
∵

1

λ

=3-

1

μ

≤2，
∴1≤

1

λ

≤2，
∵

1

λ

+

1

μ

=3，
∴μ=

λ

3λ-1

，
∴

S1

S2

=λμ=

λ2

3λ-1

=

1

-( 1 λ )2+3( 1 λ )

=

1

-( 1 λ - 3 2 )2+ 9 4

，
∵1≤

1

λ

≤2，
∴当

1

λ

=

3

2

，

S1

S2

有最小值

4

9

，当

1

λ

=1或2时，

S1

S2

有最大值

1

2

，
∴

S1

S2

的取值范围为[

4

9

，

1

2

]，
故答案为：[

4

9

，

1

2

]

点评：本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得

PG

=t

PQ

，进而得到x，y的关系式，是解答本题的关键．