Question

在极坐标系中，曲线L：ρsin²θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=

3

4

）作平行于θ=

π

4

（ρ∈R）的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．则|BC|的长为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：先求的点A的直角坐标为（4，3），求得曲线L的普通方程为：y²=2x，由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），由点斜式求得直线l的普通方程为y=x-1．把曲线L的方程和直线l的方程联立方程组，化为一元二次方程，利用韦达定理求出x₁+x₂4和x₁•x₂的值，再利用弦长公式求得|BC|的值．

解答： 解：由题意得，点A的直角坐标为（4，3），
曲线L即ρ²sin²θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y²=2x，
由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1．
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），由l与曲线L可得 x²-4x+1=0，
由韦达定理得x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
由弦长公式得|BC|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

6

，
故答案为：2

6

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，弦长公式的应用，属于基础题．