Question

设f（x）=|x-2|+|x-3|，若不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得，f（x）=|x-2|+|x-3|的最小值大于或等于

|a+1|-|2a-1|

|a|

，而由绝对值三角不等式求得|x-2|+|x-3|的最小值为1，可得1≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

，即|a||+|2a-1|≥|a+1|．分类讨论，去掉绝对值，求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：由题意可得，f（x）=|x-2|+|x-3|的最小值大于或等于

|a+1|-|2a-1|

|a|

，
而由|x-2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=1，可得1≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

，即|a|+|2a-1|≥|a+1|．
由此可得 ①

a＜-1 -a+1-2a≥-a-1

，或②

-1≤a＜0 -a+1-2a≥a+1

或，③

0≤a＜ 1 2 a+1-2a≥a+1

，或④

a≥ 1 2 a+2a-1≥a+1

．
解①求得a＜-1，解②求得-1≤a＜0，解③求得a=0，解④求得a≥1，
综上可得，a的范围是（-∞，0]∪[1，+∞），
故答案为：（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．