Question

16．l是经过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线的离心率的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，P（c，n），A（-a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式可tan∠APB=|$\frac{{k}_{PA}-{k}_{PB}}{1+{k}_{PA}•{k}_{PB}}$|，由直线的斜率公式，化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可得到所求最大值．

解答 解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，
可设点P（c，n），A（-a，0），B（a，0），
由两直线的夹角公式可得tan∠APB=|$\frac{{k}_{PA}-{k}_{PB}}{1+{k}_{PA}•{k}_{PB}}$|
=|$\frac{\frac{n}{c+a}-\frac{n}{c-a}}{1+\frac{{n}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}}$|=$\frac{2a|n|}{{n}^{2}+（{c}^{2}-{a}^{2}）}$=$\frac{2a}{|n|+\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{|n|}}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
由|n|+$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{|n|}$≥2$\sqrt{|n|•\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{|n|}}$=2$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
可得$\sqrt{3}$≤$\frac{a}{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}$，
化简可得3c²≤4a²，即c≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
当且仅当n=±$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即P（c，±$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$），离心率取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的最值的求法，注意运用两直线的夹角公式和直线的斜率公式及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．