Question

1．下列四种说法中，
①命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x²-x＜0”；
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则f（4）的值等于$\frac{1}{2}$；
④已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，1），则向量 $\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上的投影是$\frac{2}{5}$．
说法错误的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 命题①是考查特称命题的否定，特称命题的否定是全称命题；
命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；
命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后在幂函数解析式中取x=4求值；
命题④向量 $\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$的方向上的投影为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，即可得出结论．

解答 解：①命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x²-x≤0”，故①不正确；
②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；
③由幂函数f（x）=x^α的图象经过点（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），所以2^α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以α=-$\frac{1}{2}$，所以幂函数为f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，所以f（4）=$\frac{1}{2}$，所以命题③正确；
④∵向量$\overrightarrow{a}$=（3，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，1），∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3×2+（-4）×1=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，∴向量 $\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$的方向上的投影为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故④不正确．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断，考查命题的否定，充要条件，幂函数，向量 $\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$的方向上的投影，考查学生的计算能力，知识综合性强．