Question

18．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$．
（1）求$\frac{c}{a}$及sinB的值；
（2）若△ABC周长为30，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦函数公式可求sinC=sin2A，即可得解$\frac{c}{a}$的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，sinA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值．
（2）由（1）得$b=\frac{5}{6}c，a=\frac{2}{3}c$，结合周长可求得a，c的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{2sinAcosA}{sinA}$=2cosA=$\frac{3}{2}$，
则由正弦定理得：c：a=sinC：sinA=3：2；…（5分）
∵cosC=cos2A=2cos²A-1=2×$\frac{9}{16}$-1=$\frac{1}{8}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∵cosA=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，…（9分）
（2）∵由（1）得$b=\frac{5}{6}c，a=\frac{2}{3}c$，
∴$\frac{5}{6}c+c+\frac{2}{3}c=30$，解得a=8，c=12，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×8×10×\frac{5}{16}\sqrt{7}=\frac{{25\sqrt{7}}}{2}$…（14分）

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．