Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求实数a，b的值，若不存在请说明理由．
（Ⅱ）若a=2，且对任意x∈（-1，+∞），f（x）＞b+1恒成立，求b的取值范围．
（Ⅲ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4），利用一元二次方程根与系数的关系求得a=

1

12

，b=

7

12

．而此时，不等式 ax²-bx+1＞0的解集是（0，3）∪（4，+∞），不是（3，4），故不存在实数a，b的值满足条件．
（Ⅱ）由条件得b＜

2x2

x+1

对x＞-1恒成立，令 x+1=t，t＞0，则

2x2

x+1

=

2(t-1)2

t

=2（t+

1

t

-2）≥0，由此求得b＜0．
（Ⅲ）由b=a+2，可得f（x）=ax²-（a+2）x+1，分a=0、a≠0两种情况，分别求出a的值，从而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4），故方程式 ax²-bx+1=0的两根是 x₁=3，x₂=4．---（2分）
所以

1

a

=x₁•x₂=12，

b

a

=x₁+x₂=7，所以a=

1

12

，b=

7

12

．------（4分）
而当 a=

1

12

，b=

7

12

时，不等式 ax²-bx+1＞0的解集是（0，3）∪（4，+∞），不是（3，4），
故不存在实数a，b的值，使不等式ax²-bx+1＞0的解集是 （3，4）．-----------（5分）
（Ⅱ）由条件得：2x²-bx+1＞b+1对x＞-1恒成立，即b＜

2x2

x+1

对x＞-1恒成立．-------（7分）
令 x+1=t，t＞0，则

2x2

x+1

=

2(t-1)2

t

=2（t+

1

t

-2）≥0，当且仅当 x=0时，时取等号，----------（9分）
∴b＜0．---------（10分）
（Ⅲ）∵b=a+2，∴f（x）=ax²-（a+2）x+1，
（1）当a=0时，f（x）=-2x+1，f（x）恰有一个零点，但不在（-2，-1）内．------（11分）
（2）当a≠0时，△=（a+2）²-4a＞0，f（x）=ax²-bx+1恒有两个零点．------（12分）
①当f（-2）f（-1）＜0时，f（x）在（-2，-1）内恰有一个零点，即（6a+5）（2a+3）＜0，解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，再由a∈Z可得 a=-1．------（14分）
②当f（-2）=0时，a=-

5

6

，此时，f（x）的另一个零点为

3

5

 不在（-2，-1）内．------（15分）
③当f（-1）=0时，a=

3

2

，此时，f（x）的另一个零点为

2

3

也不在（-2，-1）内．
综上可得，a=-1．------（16分）

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．