Question

6．给出以下命题，其中正确命题的序号是①④（把你认为正确的序号都填上）
①非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则存在实数t，使得$\overrightarrow{b}$=t$\overrightarrow{a}$成立；
②若数列{a_n}是等差数列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N^*），则m+n=s+t；
③若S_n是等比数列{a_n}的前n项和，则S₆，S₁₂-S₆，S₁₈-S₁₂成等比数列；
④在△ABC中，若$\frac{1}{tanA}$，$\frac{1}{tanB}$，$\frac{1}{tanC}$依次成等差数列，则a²，b²，c²依次成等差数列．

Answer 1

分析 ①根据平面向量的数量积公式和模长公式，得出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$共线，即$\overrightarrow{b}$=t$\overrightarrow{a}$；
②数列{a_n}是等差数列时，由a_m+a_n=a_s+a_t不能得出m+n=s+t；
③举例说明等比数列a_n=（-1）ⁿ时，S₆，S₁₂-S₆，S₁₈-S₁₂不是等比数列；
④由$\frac{1}{tanA}$，$\frac{1}{tanB}$，$\frac{1}{tanC}$依次成等差数列，得出a²，b²，c²也成等差数列．

解答 解：对于①，非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+2|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|+${|\overrightarrow{b}|}^{2}$，
∴-2|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|cosθ=2|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|，
∴cosθ=-1，∴$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$共线，
即存在实数t，使得$\overrightarrow{b}$=t$\overrightarrow{a}$成立，①正确；
对于②，数列{a_n}是等差数列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N^*），
∴a₁+（m-1）d+a₁+（n-1）d=a₁+（s-1d）+a₁+（n-1）d，
∴（m+n）d=（s+t）d；
当d≠0时，m+n=s+t，
当d=0时，m+n=s+t不成立，∴②错误；
对于③，设a_n=（-1）ⁿ，
则S₆=0，S₁₂-S₆=0，S₁₈-S₁₂=0，
∴此数列不是等比数列，③错误；
对于④，△ABC中，$\frac{1}{tanA}$，$\frac{1}{tanB}$，$\frac{1}{tanC}$依次成等差数列，
∴$\frac{2}{tanB}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$，
∴2cosBsinAsinC=cosAsinBsinC+cosCsinAsinB，
由正弦定理，得
2accosB=bccosA+abcosC=b（ccosA+acosC），
由余弦定理，得a²+c²-b²=$\frac{1}{2}$（b²+c²-a²）+$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²）
∴a²+c²=2b²，a²，b²，c²成等差数列，④正确．
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了平面向量以及等差、等比数列的应用问题，是综合题．