Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知sinC=$\frac{2}{3}$sinB，c=2，cosA=$\frac{5}{6}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（2A-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，由题意利用正弦定理求得b的值，再利用余弦定理，求得a的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2A的值、cos2A的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（2A-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．
sinC=$\frac{2}{3}$sinB，∴由正弦定理可得c=$\frac{2b}{3}$．
∵c=2，∴b=3，再根据cosA=$\frac{5}{6}$=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+4{-a}^{2}}{12}$，∴a=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{5}{6}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{11}}{6}$，∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{5\sqrt{11}}{18}$，
cos2A=2cos²A-1=$\frac{7}{18}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin2Acos$\frac{π}{6}$-cos2Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{5\sqrt{11}}{18}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{7}{18}•\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{33}-7}{36}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，属于基础题．