Question

已知函数f（x）=x³-6x²+9x-2给出以下命题
（1）若直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是（-2，2）
（2）若函数y=f（x）+3bx不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（1，+∞）
（3）过点M（0，2）且与y=f（x）相切的直线有三条
（4）方程f（x）=

2

2-x

的所有根的和为16．
其中真命题的序号是

 

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数的导数，求出单调区间和极值，作出f（x）的图象，由图象观察可得a的取值范围，即可判断（1）；
求出导数，令导数小于等于0，不等式无解，可得b的范围，即可判断（2）；
设出切点，求出切线方程，解方程求得切点的横坐标，即可判断（3）；
作出双曲线y=

2

2-x

的图象，可得图象关于（2，0）对称，再由图象观察它们共有4个交点，可得横坐标之和为8，即可判断（4）．

解答： 解：函数f（x）=x³-6x²+9x-2的导数为
f′（x）=3x²-12x+9，
f′（x）＞0解得x＞3或x＜1，f（x）递增；
f′（x）＜0可得1＜x＜3，f（x）递减．
即f（1）取得极大值2，f（3）取得极小值-2，
作出f（x）的图象，如右．
对于（1），作出直线y=a，由图象可得当-2＜a＜2时，
则直线与f（x）的图象有3个交点，则（1）正确；
对于（2），若函数y=f（x）+3bx不存在单调递减区间，则y′=3x²-12x+9+3b≤0不成立，
即有3（x-2）²≤-3b+3无解，则有3-3b＜0，解得b＞1，则（2）正确；
对于（3），设过点M（0，2）且与y=f（x）相切的切点为（m，n），则切线斜率为3m²-12m+9，
切线方程为y-n=（3m²-12m+9）（x-m），代入（0，2），可得n=3m³-12m²+9m+2，又n=m³-6m²+9m-2，
则有m³-3m²+2=0，即（m-1）（m²-2m-2）=0，解得m=1或1±

3

，则切线共有3条，则（3）正确；
对于（4），作出双曲线y=

2

2-x

的图象，可得图象关于（2，0）对称，由图象可得y=f（x）的图象与双曲线
交于4个点，它们关于（2，0）对称，则它们的横坐标和为4+4=8，则（4）错误．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：本题考查三次函数的图象的运用，考查函数的导数的运用：求切线方程和单调区间以及极值，考查函数的对称性以及运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．