Question

已知{a_n}是由正数组成的数列，其前n项和S_n与a_n之间满足：a_n+

1

2

=

2Sn+ 1 4

（n≥1且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=（

1

2

）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由a_n+

1

2

=

2Sn+ 1 4

（n≥1且n∈N^*），两边平方化为Sn=

1

2

(

a

2 n

+an)．当n≥2时，Sn-1=

1

2

(

a

2 n-1

+an-1)，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n-a_n-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=(

1

2

)n•a_n=

n

2n

，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵a_n+

1

2

=

2Sn+ 1 4

（n≥1且n∈N^*），两边平方化为Sn=

1

2

(

a

2 n

+an)．
∴a1=

1

2

(

a

2 1

+a1)，a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，Sn-1=

1

2

(

a

2 n-1

+an-1)，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(

a

2 n

+an)-

1

2

(

a

2 n-1

+an-1)，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}为等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（II）b_n=(

1

2

)n•a_n=

n

2n

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

22

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．