Question

已知命题p：（x+1）（x-3）≤0，命题q：-m≤x≤1+m（m＞0）
（Ⅰ）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（I）由命题p：（x+1）（x-3）≤0，解得-1≤x≤3．命题q：-m≤x≤1+m（m＞0）．由p是q的充分条件，可得[-1，3]是[-m，1+m]（m＞0）的子集，可得

m＞0 -1≥-m 3≤1+m

，解得m范围即可；
（II）m=5时，命题q：-5≤x≤6．“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，p与q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：（I）由命题p：（x+1）（x-3）≤0，解得-1≤x≤3．
命题q：-m≤x≤1+m（m＞0）．
∵p是q的充分条件，∴[-1，3]是[-m，1+m]（m＞0）的子集，
∴

m＞0 -1≥-m 3≤1+m

，解得m≥2，∴实数m的取值范围是[2，+∞）．
（II）m=5时，命题q：-5≤x≤6．
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p与q必然一真一假．
∴

-1≤x≤3 x＜-5或x＞6

或

x＜-1或x＞3 -5≤x≤6

，
解得x∈∅或-5≤x＜-1或3＜x≤6．
∴实数x的取值范围是[-5，-1）∪（3，6]．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、不等式组的解法、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．