Question

已知函数f（x）=ax²+2In（1-x）（a为实数）．
（1）若f（x）在[-3，-2 ）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）设f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）_max=1-2

2

，求出a的值．

Answer 1

分析：（1）先求导，然后转化成f'（x）≥0，对一切x∈[-3，-2）恒成立，分离出参数，求出a的范围；
（2）当a≤0时，则f'（x）为单调递减函数，没有最大值；当a＞0时，得出f'（x）≤2a-2

4a

，进而求出f'（x）max=2a-2

4a

，即可求出a的值．

解答：解：（1）由题意得f'（x）≥0，对一切x∈[-3，-2）恒成立，
即2ax-

2

1-x

≥0对一切x∈[-3，-2）恒成立．（2分）
∴2ax≥

2

1-x

，a≤

1

-x2+x

=

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

，（3分）
当x∈[-3，-2）时，-（x-

1

2

）²+

1

4

＜-6，
∴

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

＞-

1

6

∴a≤-

1

6

，所以a的取值范围是（-∞，-

1

6

]．（6分）
（2）因为f'（x）=2ax-

2

1-x

，
当a≤0时，则f'（x）为单调递减函数，没有最大值．（8分）
当a＞0时，∵x＜1∴2a（1-x）＞0，

2

1-x

＞0，∴f'（x）≤2a-2

4a

．（10分）
由2a（1-x）=

2

1-x

得，x=1±

1

a

  由于x=1+

1

a

＞1，舍去．
所以当x=1-

1

a

时，f'（x）max=2a-2

4a

．（11分）
令2a-2

4a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

，即为所求．（12分）

点评：本题考查了导数与单调性的关系，对于不等式恒成立问题要转化成求最值问题来解决，属于中档题．