Question

6．对任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，任意y∈（0，+∞），不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3]
• B． [-2$\sqrt{2}$，3]
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [-3，3]

Answer 1

分析 将不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立转化为$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立，构造函数f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，利用基本不等式可求得f（y）_min=3，于是问题转化为asinx+2-2sin²x≤3恒成立．通过对sinx＞0、sinx=0分类讨论求得实数a的取值范围．

解答 解：任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，y∈（0，+∞），
不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立?$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立，
令f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，
则asinx+2-2sin²x≤f（y）_min，
∵y＞0，∴f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥2$\sqrt{\frac{y}{4}•\frac{9}{y}}$=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）_min=3．
∴asinx+2-2sin²x≤3，即asinx-2sin²x≤1恒成立．
∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴sinx∈[0，$\frac{1}{2}$]，
当sinx=0时，对于任意实数a，不等式asinx-2sin²x≤1恒成立；
当sinx＞0时，不等式asinx-2sin²x≤1化为a≤2sinx+$\frac{1}{sinx}$恒成立，
令sinx=t，则0＜t≤$\frac{1}{2}$，
再令g（t）=2t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{1}{2}$），则a≤g（t）_min．
由于g′（t）=2-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）=2t+$\frac{1}{t}$在区间（0，$\frac{1}{2}$]上单调递减，
因此，g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=3，
∴a≤3．
综上，a≤3．
故选：A．

点评 本题考查恒成立问题，将不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立转化为$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立是基础，令f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，求得f（y）_min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．