Question

3．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-2y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{5}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{5}{3}$]

Answer 1

分析 作出平面区域，可得直线过定点D（-1，1），斜率为-1-$\frac{1}{m+1}$，结合图象可得m的不等式，解不等式可得m的范围．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-2y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，所对应的区域（如图△ABC即内部），
直线（m+2）x+（m+1）y+1=0可化为2x+y+1+m（x+y）=0，过定点D（-1，1），斜率为-1-$\frac{1}{m+1}$，
要使直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-2y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，
则直线需与区域有公共点，K_CD=$\frac{2-1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，K_AD=$\frac{-1-1}{1-（-1）}$=-1，
∴-1≤$-1-\frac{1}{m+1}$≤$\frac{1}{2}$，解得m$≤-\frac{5}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．