Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}$（n≥2），其中S_n为{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₆=$\frac{1}{4031}$．

Answer 1

分析 通过对a_n=$\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}$（n≥2）变形可知2S_nS_n-1=S_n-1-S_n，进而可知数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}$（n≥2），
∴2${{S}_{n}}^{2}$=2S_na_n-a_n，
∴2${{S}_{n}}^{2}$-2S_na_n=S_n-1-S_n，即2S_nS_n-1=S_n-1-S_n，
∴2=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴S₂₀₁₆=$\frac{1}{1+2（2016-1）}$=$\frac{1}{4031}$，
故答案为：$\frac{1}{4031}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．