Question

11．已知函数f（x）=log₃（2-x）+log₃（x+6）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；（2）根据二次函数的性质求出真数的最大值是16，从而求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{x+6＞0}\end{array}\right.$，
解得：-6＜x＜2，
故函数的定义域是（-6，2）；
（2）f（x）=log₃（2-x）+log₃（x+6）=${log}_{3}^{（{-x}^{2}-4x+12）}$，x∈（-6，2），
令t（x）=-x²-4x+12=-（x+2）²+16≤16
∴f（x）的最大值是f（-2）=${log}_{3}^{16}$=4${log}_{3}^{2}$．

点评 本题考查了对数函数、二次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．